Determinan Matriks

Tujuan Pembelajaran

Peserta didik dapat menjelaskan konsep determinan dalam menyelesaikan matriks dengan benar
Peserta didik dapat menentukan nilai determinan dari suatu matriks dengan benar

Pada subbab bagian awal kita telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Pada bagian ini kita akan mengenal tentang determinan dari suatu matriks persegi.

Determinan matriks merupakan sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan operasi tertentu. Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi, yaitu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Determinan matirks $2 \times 2$

Misalkan A adalah matriks persegi ordo $2 \times 2$ sebagai berikut.
$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

Determinan dari matriks $A$ didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal skunder. Determinan dari matriks $A$ dinotasikan dengan $d e t A$ atau $| A |$ . Berdasarkan definisi determinan, diperoleh rumus determinan dari matriks $A$ sebagai berikut.

Agar lebih memahami tentang determinan $2 \times 2$ matriks perhatikan contoh berikut.

Contoh

Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut.
$A = [\begin{matrix} - 4 & - 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$ , $B = [\begin{matrix} 4 & 2 \\ - 7 & - 4 \end{matrix}]$ , dan $C = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & - 2 \end{matrix}]$

Jawab

d e t A = | \begin{matrix} - 4 & - 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} | = (- 4 \times (- 1)) - (- 3 \times 2) = 4 - (- 6) = 10

d e t B = | \begin{matrix} 4 & 2 \\ - 7 & - 4 \end{matrix} | = (4 \times (- 4)) - (2 \times (- 7)) = - 16 - (- 14) = - 2

d e t C = | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & - 2 \end{matrix} | = (1 \times (- 2)) - (3 \times 5 = - 2 - 15 = - 17

Determinan Matriks $3 \times 3$

Misalkan matriks A persegi berordo 3×3 sebagai berikut.
$A = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}]$

Untuk mencari nilai determinan dari matriks $3 \times 3$ menggunakan Metode Sarrus. Adapun Langkah-langkah Metode Sarrus sebagai berikut.

Tulislah ulang matriks A dalam bentuk tanda determinan, lalu disebelah kanan tanda determinan tulis ulang kolom pertama dan kolom kedua, sebagai berikut.
$| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}$
Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakanlah jumlah tersebut sebagai $D_{1}$ .

$D_{1} = (a) (e) (i) + (b) (f) (g) + (c) (d) (h)$
Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakanlah jumlah tersebut sebagai $D_{2}$ .

$D_{2} = (g) (e) (c) + (h) (f) (a) + (i) (d) (h)$
Determinan dari matriks A adalah pengurangan $D_{1}$ dan $D_{2}$ maka $d e t A = D_{1} - D_{2}$
$d e t A = | \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}$
$d e t A = ((a) (e) (i) + (b) (f) (g) + (c) (d) (h)) - ((g) (e) (c) + (h) (f) (a) + (i) (d) (h))$
$d e t A = D_{1} - D_{2}$

Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis yaitu matriks singular dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, sedangkan matriks non singular adalah matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol.

Agar lebih memahami tentang determinan $3 \times 3$ matriks perhatikan contoh berikut.

Contoh

Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.
$B = [\begin{matrix} - 1 & 2 & 5 \\ 4 & - 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix}]$

Jawab:

$d e t B = | \begin{matrix} - 1 & 2 & 5 \\ 4 & - 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 4 & - 3 \\ 0 & 2 \end{matrix}$

$\binom{d e t B = ((- 1 \times (- 3) \times 3) + (2 \times 1 \times 0) + (5 \times 4 \times 2)) -}{((0 \times (- 3) \times 5) + (2 \times 1 \times (- 1)) + (3 \times 4 \times 2))}$

$d e t B = (9 + 0 + 40) - (0 - 2 + 24)$

$d e t B = 49 - 22$

$d e t B = 27$

Cek Pemahaman Anda

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan mengisikan jawaban pada inputan dan tekan tombol cek untuk memeriksa jawaban.

$C = [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ . Berapakah nilai determinan matriks C ?
$D = [\begin{matrix} 5 & - 7 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$ . Berapakah nilai determinan matriks D ?
$E = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 1 & - 2 \end{matrix}]$ . Berapakah nilai determinan matriks E ?
$F = [\begin{matrix} - 3 & 1 & 5 \\ - 1 & - 13 & 5 \\ - 5 & - 5 & 5 \end{matrix}]$ . Berapakah nilai determinan matriks E ?

KEMBALI KE MATERI SEBELUMNYA

Daftar Materi