Perkalian Matriks

Tujuan Pembelajaran

Peserta didik dapat menghitung perkalian dua buah matriks dengan benar
Peserta didik dapat menghitung perkalian dua buah matriks yang berkaitan dengan kehidupan nyata dengan benar

Setelah kita mempelajari Perkalian Skalar Matriks selanjutnya kita akan belajar Perkalian Matriks. Untuk memahami Perkalian Matriks perhatikan masalah 1 di bawah ini.

Masalah 1

Bu Nani membeli buah mangga dan buah anggur didua tempat yang berbeda. Di Toko buah ke-1, ia membeli 2 kg mangga dan 3 kg anggur, sedangkan di toko buah ke-2, ia membeli 3 kg mangga dan 4 kg anggur. Harga buah mangga dan anggur dikedua toko tersebut sama, yaitu Rp 6.500 dan Rp 10.000 per kg. Berapa banyak uang yang dikeluarkan Bu Nani pada masing-masing toko ?

Penyelesaian

Untuk mengetahui banyaknya uang yang dikeluarkan Bu Nani pada masing-masing toko kita dapat menghitungnya sebagai berikut

Toko 1 : $(2 \times 6.500) + (3 \times 10.000) = 13.000 + 30.000 = 43.000$

Toko 2 : $(3 \times 6.500) + (4 \times 10.000) = 19.500 + 40.000 = 59.500$

Jadi banyak nya uang yang dikeluarkan ibu Nani pada toko ke-1 sebesar Rp 43.000 dan toko ke-2 sebesar Rp 59.500

Untuk menghitung menggunakan perkalian matriks sebagai berikut.

Jumlah buah mangga dan anggur yang dibeli ibu Nani di kedua toko tersebut dapat dibentuk ke dalam tabel sebagai berikut.

	Buah Mangga	Buah Anggur
Toko 1	2	3
Toko 2	3	4

Jika bagian angka pada tabel dituliskan dalam bentuk matriks, misalkan matriks $P = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

Selanjutnya harga kedua macam barang yang dibeli Bu Nani dapat disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut

Nama Barang	Harga
Buah Mangga	6.500
Buah Anggur	10.000

Jika tabel harga kedua barang dimisalkan kedalam bentuk matriks yaitu matriks $Q = \begin{bmatrix} 6500 \\ 10000 \end{bmatrix}$

Dengan demikian uang yang dikeluarkan Bu Nani untuk masing-masing toko dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks P dan matriks Q sebagai berikut.

$P \times Q = P = \begin{bmatrix} \color{blue}{2} & \color{blue}{3} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{green}{6500} \\ \color{green}{10000} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\color{blue}{2} \times \color{green}{6500}) + (\color{blue}{3} \times \color{green}{10000}) \\ (\color{blue}{3} \times \color{green}{6500}) + (\color{blue}{4} \times \color{green}{10000}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43000 \\ 59500 \end{bmatrix}$

Jadi hasil perkalian matriks $P$ dan matriks $Q$ mendapatkan matriks baru yang merupakan uang yang dikeluarkan Bu Nani untuk masing-masing toko.

Dari contoh diatas, kira memperoleh matriks $P$ berodo $2 \times 2$ dan matriks $Q$ berodo $2 \times 1$, sedangkan matriks hasil Perkalian berodo $2 \times 1$. Dapat ditarik kesimpulan pengertian Perkalian Matriks Sebagai berikut.

Dua buah matriks $A$ dan $B$ dapat dikalikan, jika banyak kolom pada matriks $A$ sama dengan banyaknya baris pada matriks $B$. Elemen-elemen pada matriks $A \times B$ dapat diperoleh dari Penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks $A$ dengan elemen kolom pada matriks $B$. Dapat digambarkan sebagai berikut

Agar lebih memahami perhatikan masalah 2 di bawah ini.

Masalah 2

Sebuah perusahaan travel bus ingin membuka cabang baru didua kota, cabang 1 di kota Banjarmasin dan cabang 2 di kota Samarinda. Untuk itu diperlukan beberapa peralatan sebagai penunjang kelancaran usaha tersebut, yaitu handphone dan komputer. Disisi lain perusahaan mempertimbangkan harga satuan peralatan tersebut. Lengkapnya disajikan pada tabel dibawah.

	Handphone (Unit)	Komputer (Unit)
Cabang 1 (Banjarmasin)	4	3
Cabang 2 (Samarinda)	5	4

Nama Barang	Harga (Rp)
Handphone	1.500.000
Komputer	5.450.000

Perusahaan ingin mengetahui biaya yang dikeluarkan tiap cabang. Hitunglang menggunakan perkalian matriks.

Penyelesaian

Untuk menghitung kedalam bentuk matriks kita misalkan tabel pertama sebagai matriks $A$ dan tabel kedua sebagai matriks $B$.

Isilah inputan di bawah ini berdasarkan pernyataan diatas.
Inputkan jawaban tanpa titik.
Tekan tombol cek untuk mengecek jawaban.
Apabila inputan berwarna Hijau jawaban benar, apabila inputan berwarna Merah jawaban salah.

$A = $

[

]

$B = $

[

]

Setelah kedua tabel dibentuk ke dalam matriks. Hitung menggunakan perkalian matriks sebagai berikut.

$AB = \begin{bmatrix}4 & 3\\ 5 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1500000\\ 5450000\end{bmatrix}$

$AB = $

[

(

+

)

(

+

)

]

$AB = $

[

+
+

]

$AB = $

[

]

Jadi total biaya masing-masing cabang dinyatakan dalam matriks berikut $C = \begin{bmatrix} 22350000 \\ 29300000 \end{bmatrix}$

Agar lebih memahami Perkalian matriks, perhatikan contoh berikut.

Contoh

Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$, dan $C = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$. Tentukan :

$A \times B$
$B \times C$
$A \times C$

Jawab:

$A \times B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} (2 \times 3) + (3 \times (-2)) & (2 \times 5) + (3 \times (-1)) \\ ((-4) \times 3) + (5 \times (-2)) & ((-4) \times 5) + (5 \times (-1)) \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} 0 & 7 \\ -22 & -25 \end{bmatrix} $
$B \times C = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} (3 \times 2) + (5 \times 1) \\ ((-2) \times 2) + ((-1) \times 1) \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix}$
$A \times C = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} (2 \times 2) + (3 \times 1) \\ ((-4) \times 2) + (5 \times 1) \end{bmatrix}$

$ = \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix}$

Cek Pemahaman Anda

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan mengisikan jawaban pada inputan dan tekan tombol cek untuk memeriksa jawaban

Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$. Hitunglah $AB$.

$AB = $

[

]

Diketahui matriks $X = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ dan $Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$. Hitunglah $XY$

$AB = $

[

]

KEMBALI KE MATERI SEBELUMNYA

Daftar Materi